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拉格朗日定理
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式。
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为:流体力学中的拉格朗日定理;微积分中的拉格朗日定理;数论中的拉格朗日定理;群论中的拉格朗日定理。
拉格朗日四平方和定理(费马多边形数定理特例)每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4^k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
设p是一个素数，f(x)是整系数多项式，模p的次数为n，则同余方程f(x)≡0(modp)至多有n个互不相同(即模p互不同余)的解。
定理内容
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续
(2)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
证明:
把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
易证明此函数在该区间满足条件:
1.G(a)=G(b);
2.G(x)在[a,b]连续;
3.G(x)在(a,b)可导.
此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证
几何意义
若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.
拉格朗日定理条件
[拉格朗日(Lagrange)中值定源阻皇三验院评包我欢音理]若函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续。
（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ。
显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
推论：如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数苗到f'(x)都等于零，那么函数f(x)在(a,b)内是考考定赵官乡鱼一个常数。
证：设x1,x2是位美委值练析史倒或率区间(a,b)内的任意两点，且x1＜x2，则函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗等日终值定理的条件，助判查百所以在(x1,x操班2)内至少存在一点ξ，使得府倒技每行掉f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)。
由假设知f'(ξ)=0，所以f(x1)=f(x2)。
由于x1,x2是(a,b)内的任意两点，所以函数f(x)在(a,b)内的函数值总是刻六间量相等的，即函数f(x)在(a,b)内是一个常数。
由此可知，函数f(x)在(a黄均评论何顺求拿,b)内是一个常数的充分侵选按必要条件是在(a,b)内f'(x)=0。
推阻影村高给富代论：如果函数f(x)与g(x)切式现众证着引长良在区间(a,b)内每一点的导数f'(x)与g'(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)。这里C是一个确定的常数。
拉格朗日定理又被称为什么定理
拉格朗日定理是数学家拉格朗日提出并且证明的定理，所以它又被亲切的收铁倒赶始千称为拉氏定理。看到这个拉氏定理你可能就有感觉了，所谓的拉氏拉氏，不就是拉屎拉屎的谐音吗！所以拉格朗日定理又被人亲切的称为拉屎定理了。
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