二项式定理（Binomial theorem，牛顿二项式定理）是艾萨克·牛顿于1664年、1665年间研究提出[1]。
二项式定理指出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式，该定理可以推广到任意实数次幂。
中文名二项式定理
别称牛顿二项式定理
最早研究时间1664~1665年
外文名Binomial theorem
主要贡献者艾萨克·牛顿
适用领域范围代数学[2]
发展简史
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”（如图1），满足了三次以上开方的需要。此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线（如图2）。在阿拉伯，10世纪，阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法：每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式。13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。15世纪，阿尔 ·卡西在其《算术之钥》中介绍了任意高次开方法，并给出了直到九次幂的二项式系数表，还给出了二项式系数表的两术书中给出了一张二项式系数表，其形状与贾宪三角一样。16世纪，许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年，法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理，因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。
定理定义
根据此定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式
其中每个为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作
验证推导
考虑用数学归纳法。
当时，则
假设二项展开式在时成立。
设，则：
，（将a、b<乘入）
，（取出的项）
，（设）
，（ 取出项）
，（两者相加）
，（套用帕斯卡法则）
定理推广
牛顿广义二项式定理
二项式定理可以推广到对任意实数次幂的展开。
其中。
牛顿二项式扩充定理
设函数：
根据二项式定理得F(x)的任意一项为：
同理上式中的任意一项为
如此类推我们预知最后一项存在;
那么我们得到其中
的任意一个系数为以上各式系数之积即为：
设M=0+j+....+q+p+m而且项的系数为AM
当x=1时，这就是多项式定理
二项式定理推广至n为负数
二项式定理的一个常用形式为
(n>0)
考虑到组合数的性质，上式可以改写为
(n>0)
我们猜想当上式中左边的指数为负整数时公式
依然成立，即
(n>0)
上式的正确性可以很容易地加以验证。同理，二项式定理也可以推广到非整数指数的情况。
上面的结果与牛顿二项式展开完全一致。
定理意义
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。
应用例子
证明组合恒等式
二项式定理给出的系数可以视为组合数的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
比如证明，可以考虑恒等式。
展开等式左边得到：。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。
同时如果展开等式右边可以得到。
比较两边幂次位的项的系数可以得到：。
令，并注意到即可得到所要证明的结论。
证明自然数幂求和公式
公式具体内容:
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。
当n为奇数时，由1+2+3+4+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1+2+3+4+5+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1+2+3+4+5+6+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n次幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。
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