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反函数的定义
学好数学要依靠理解，“数学理解”应受到数学 教育 界的普遍关注。“反函数”是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，反函数的定义是什么？以下是我为大家整理的关于反函数的定义，欢迎大家前来阅读!反函数的概念
所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
函数的定义
一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(2)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。
(8)反函数是相互的
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)
(10)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题：求函数3x-2的反函数
解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)
反函数的基本性质
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表)：
函数y=f(x)
反函数y=f^-1(x)
定义域
A C
值 域
C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数的应用介绍
直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域;
(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步)
2、反解x，也就是用y来表示x;
3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x;
4、写出原函数及其值域。
实例：y=2x+1(值域：任意实数) x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意实数)
特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。
反函数求解三步骤： 1、换：X、Y换位 2、解：解出Y 3、标：标出定义域
反函数的使用符号
符号
arc
用法
例：三角函数中
正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx->x=arcsinx
余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx->x=arccosx
正切函数和它的反函数：f(x)=tanx ->x=arctanx
余切函数和它的反函数：f(x)=cotx->x=arccotx
注解
反正弦的意义 ，则符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，记作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、“arcsina”表示中的一个角，其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意义 x∈[0，π]，则符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa. 注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一个角，其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意义 ，则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切，记作arctana，即x=arctana. 注：1、“arctana”表示中的一个角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符号表示[0，2π]中角的一般规律
反函数的相关说明
⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。
⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增(减)的定义域内，可以求反函数。
⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域(如下表)：
函数：y=f(x);
反函数：y=f^(-1)(x);
定义域： A C;
值域： C A;
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
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反函数的定义及性质
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f^-生创较干听苦急查欢乐愿1（x）。 存在反函刻输较群培比长就很聚据数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 北训画永站（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （肥响段攻已里据看州燃3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶己秋治年阶器鲜换函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x复随婷散=a）这是一种极特殊的刻方代粉侵函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的士宁活修函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定脚溶时镇力田等（三定） 例：y=2教层脸x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函造办给消影验报业般回求数是y=log2x 例题：求函数3x-酸划岩社色杆多尽经候复2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=种道明困安看基3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)
反函数的定义域是原函数的值域吗
在定义域内单调的函数具有反函数。如该题，它所问的是在整个定义域内是否有反函数，当然是有；如果将问题改为在X＜0上时，则有反函数。
反函数与原函数的关系：
1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。
4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。
5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。
扩展资料：
反函数的性质
（1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线yx对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是0且f（x）=C（其中c是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是}，值域为}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数；
（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（7）反函数是相互的且具有唯一性；
（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（9）反函数的导数关系：如果x=f（y）在开区间I上严单调，可导，且fy）≠0，那么它的反函数y=f-1（x）在区间s={xx=f（y），y∈}内也可导。
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