黄金矩形(黄金矩形宽与长比例)

由网友(遐迩)分享简介：关于黄金矩形内容导航：1、黄金矩形2、黄金矩形的画法3、黄金矩形的定义黄金矩形第一步：画一个任意正方形ABCD(比如边长为2) ；第二步：取BC的中心点N，连接ND；第三步：以N为圆心，ND 长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E做EF垂直于AD交AD的延长线于F。矩形DCEF即为黄金矩形...

关于黄金矩形内容导航：

1、黄金矩形
2、黄金矩形的画法
3、黄金矩形的定义

黄金矩形

第一步：画一个任意正方形ABCD(比如边长为2) ；
第二步：取BC的中心点N，连接ND；
第三步：以N为圆心，ND 长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E做EF垂直于AD交AD的延长线于F。
矩形DCEF即为黄金矩形，即长是宽的1.618倍。而且如果将矩形DCEF裁去一个正方形，剩下的矩形仍然是一个黄金矩形，如此一直分割下去！比例相同。
从几何意义上讲，在给定线段AC上黄金均值可以这样构成，在AC上取一点B，使

则|AB|为黄金均值，也以黄金分割、黄金比以及黄金比例等著称．

一条线段一旦分割出黄金均值，那么黄金矩形也就很容易通过以下步骤作出：

1)给定任一线段AC，用B点将线段AC分割出一个黄金均值段，作正方形ABED．

2)作CF⊥AC．

3)延长射线DE，使得线DE与CF交于F点．

则ADFC是一个黄金矩形．

黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出，如下图所示：

1)作任意正方形ABCD．

2)用线段MN将正方形平分为两半．

3)用圆规，以N为中心，以|CN|为半径作弧．

4)延长射线AB直至与以上的弧相交于E点．

5)延长射线DC．

6)作线段EF⊥AE，并令射线DC与EF交于F点．

则ADFE为一黄金矩形．

黄金矩形还能自我产生：从下面的黄金矩形ABCD出发，很容易通过画正方形ABEF的方法得到黄金矩形ECDF．再通过画正方形ECGH，容易构成黄金矩形DGHF．这样的过程可以无限地继续下去．

用最后得到的无穷多个紧挨着的黄金矩形，可以作出另一种类型的等角螺线(也称对数螺线)．如下图用圆规在一系列黄金矩形中的各个正方形里，画四分之一圆弧．这些弧便形成等角螺线的轮廓．

注释

由黄金矩形陆续产生其他的黄金矩形，这样便画出了等角螺线的轮廓．图中的对角线交点为该螺线的极点或中心．

令O为螺线的中心．

螺线的极半径是指以中心O和螺线上任意点为端点的线段．

注意螺线上的每一个点的切线与该点的极半径都形成一个角∠T1P1O．如果对于每一个这样的角都相等，则该螺线为等角螺线．

等角螺线也称对数螺线，因为它以几何比率(也就是某数的方幂)增长，而方幂的指数则是对数的另一种名称．

等角螺线是仅有的这样一种类型的螺线，这种螺线当它增大时不改变自己的形状．

在实际生活中有许多装点的形式——正方形、六角形、圆、三角形等等．黄金矩形和等角螺线是其中最令人心旷神怡的两种．两者的形迹可见于海星、贝壳、菊石、鹦鹉螺、序状种子的排列、松果、菠萝、甚至于一个蛋的形状．

同样令人感兴趣的是黄金比与斐波那契数列的联系．斐波那契数列——(1，1，2，3，5，8，13，…，[Fn-1+Fn-2]，…)——相继项

除了出现在艺术、建筑和自然界外，今天黄金矩形还在广告和商业等方面派上用场．许多包装采用黄金矩形的形状，能够更加迎合公众的审美观点．例如标准的信用卡就近似于一个黄金矩形．

黄金矩形还跟许多其他的数学观念相联系．诸如无穷数列、代数、圆内接正十边形、柏拉图体、等角螺线、极限、黄金三角形和五角星形等等．

参考资料：http://ced.xxjy.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1059/5146_SR.HTM

黄金矩形与黄金螺线的画法与应用价值

黄金矩形的画法

如图所示，画法：

1.做一条直线，在直线室测计社上取点A，以线段AB的长取点B；

2.以点A为圆心，任意长为半径，做一来自个圆，与直线AB相交于点E1和点F1；

3.以点E1为圆心，大于线段E1A的长为半径，做一个圆，以点F1为圆心，大于线段F1A的长为半径，做一个圆，两圆相交于点G1，连接点G1和点A，并做线段AG1的延长线；

4.以点B为圆心，任意的其委层周互似院质号几长为半径，做一个圆，与直线AB相交于点E2和点F2；

5.以点E2为圆心，大于宁历初龙菜击全线段E2B的长为半径，做一个圆，以点F2为圆心，大于线般模岁论读知见重宽财些段F2B的长为半径，做一个圆，两圆相交于点G2，连接点G2和点B，并做线段BG2的延长线；

6.以点A为圆心，大于线段AB/2的长为半径，做一个圆，以点B为圆心，大于线段AB/2的长为半径，做一个圆，两圆相交于点E3和点F3，连接点E3和点F3，与罪祖罪刑更直线AB相交于点H1；

7.以点A为圆心，线段AH1的长为半径，做一个圆，与射线AG1相交于点H2，连接H2和B；

8.以点H2为圆心，线段AH1的长为半径，做一个圆，与线段H2B相交于点H3；

9.以点B为圆心，线段H3B的长为半径，降正怀做一个圆，与射线BG2相交于点C统告元客夜，以点A为圆心，线段H3B的长为半径，做复间一个圆，与射线AG1相交政解画委营宜眼于点D，连接点C和点D；

10.四边形ABCD就是黄金矩形。

11.证明：H1为AB的中点,所以AH2=BH1=AB/2，又因H2A=H2H3=AB/2，所以H2B=√司尔地总重赵做员达皮5*AB/2，H3B=√5*AB/2-AB/2=(√5-1)*AB/2，BC=AD=H3B=(√5-1)*相AB/2，所以AD/AB磁级导=[(√5-1)*AB/2]/AB=(√5-1)/2；因为AG1是E1F1的中中垂线，往与河发于所以AG1⊥E1F1，所以AG1⊥AB，同理，BG2⊥AB，所以AG1∥BG2，所以AD∥BC，又掉频笔座过半按史成蛋因为AD=BC，所以四边察担内难试鲁纸念矿兵丰形ABCD是矩形。

如图所示，画法：

1.做一条直线，在直线上取点A，以言质语起感责久任岁线段AB的长取点B，再在直线上取点H1，使BH1=AB；

2.以点A为圆心，任意长为半径，做一个圆，与直线AB相交于点E1和点F1；

4.以点B为圆心，任意长为半径，做一个圆，与直线AB相交于E2和F2；

5.以点E2为圆心，大于线段E2B的长为半径，做一个圆，以点F2为圆心，大于线段F2B的长为半径，做一个圆，两圆相交于点G2，连接点G2和点B，并做线段BG2的延长线；

6.以点A为圆心，线段AB的长为半径，做一个圆，与射线AG1相交于点H2，连接H2和H1；

7.以点H2为圆心，线段AB的长为半径，做一个圆，与线段H2H1相交于点H3；

8.以点H3为圆心，大于线段H3H1/2的长为半径，做一个圆，以点H1为圆心，大于线段H3H1/2的长为半径，做一个圆，两圆相交于点E3和点F3，连接点E3和点F3，与线段H3H1相交于点G3；

9.以点A为圆心，线段H3G3的长为半径，做一个圆，与射线AG1相交于点D，以点B为圆心，线段H3G3的长为半径，做一个圆，与射线BG2相交于点C，连接点C和点D；

10.四边形ABCD就是黄金矩形。

11.证明：AB=BH1=AH2，所以，H3H1=√5AB，H3H1=√5AB-AB，点G3是H3H1的中点，所以H3G3=H1G3=H3H1/2=(√5AB-AB)/2=(√5-1)*AB/2，又因AD=BC=H3G3=(√5-1)*AB/2，所以AD/AB=[(√5-1)*AB/2]/AB=(√5-1)/2；因为AG1是E1F1的中中垂线，所以AG1⊥E1F1，所以AG1⊥AB，同理，BG2⊥AB，所以AG1∥BG2，所以AD∥BC，又因为AD=BC，所以四边形ABCD是矩形。

黄金矩形的定义

黄金矩形与黄金螺线的画法与应用价值