由网友(乖一点就抱你)分享简介：里茨－添廖金要领是求解数教物理方程的类似要领，首要用于椭圆型边值答题。使要领具备极大的矫捷合用性，能很差地处置惩罚庞大的几何外形、中断介量和奇性载荷等环境，正在科教取工程的计较中得到宽泛的应用。中文名里茨－添廖金要领提出者W.里茨时间一九零八年做用首要用于椭圆型边值答题注释求解数教物理方程的类似要领，首要用于椭圆型边值答题...

里茨－加廖金方法是求解数学物理方程的近似方法，主要用于椭圆型边值问题。使方法具有极大的灵活适用性，能很好地处理复杂的几何形状、间断介质以及奇性载荷等情况，在科学与工程的计算中获得广泛的使用。

中文名

里茨－加廖金方法

提出者

W.里茨

时间

1908年

作用

主要用于椭圆型边值问题

正文

求解数学物理方程的近似方法，主要用于椭圆型边值问题,W.里茨于1908年对此做了开创性的工作。这类方法从变分原理出发，选定有限个试探函数φ1,φ2,…,φN，用它们的线性组合构造近似解，从而把问题归结为确定组合中的系数。

极小值原理 　表达物理基本定律的一种形式，其表达可概括如下：给出一个依赖于物理状态v（为一函数）的变量J(v)（数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V，即一切容许取的物理状态，则真实的物理状态就是V中使J(v)达到极小值的函数u。例如弹性力学中著名的极小能量原理的表述是：弹性体在外力作用下的平衡位移使总势能达到极小。这里，总势能是位移函数的泛函。现讨论小变形的均匀弹性膜，膜在区域Ω上的垂直位移用函数v(x,y)表示，假定在边界嬠Ω上膜固定在坐标平面上，即

， (1)

在外力ƒ(x,y)作用下弹性膜的总势能为

(2)

它的容许函数集 V是满足边界条件(1)并使积分(2)存在的全体函数。由极小能量原理得出：弹性膜的平衡位移u是V中使总势能(2)达到极小的函数，即

。 (3)

虚功原理 　又称虚位移原理，在力学中与极小能量原理同属变分原理。它的一般表述是：平衡系的力对虚位移所作的虚功为零。在弹性膜的例子中，如果仍以u表示平衡位移，则虚功原理可表达为：对所有 υ∈V，u使

(4)

成立。变分问题(3)或(4)确定的平衡位移u,也是泊松方程第一边值问题的解，即u满足

式中Δ为拉普拉斯算子。

里茨法从与微分方程问题等价的极小值原理出发，选择有限个试探函数φ1,φ2,…,φN，在它们的线性组合

中去找近似解。一般而言，试探函数φj须属于容许函数集V。把

代入(2)，得到

(5)

式中

，

。

由多元微分学可推出极小解

的系数

C

壣应满足

(6)

故问题归结为求解线代数方程组(6)。

加廖金法从虚功方程(4)出发，把近似解表为试探函数φ1，φ2，…，φN的线性组合

,另选定函数ψ1，ψ2,…,ψN作为(4)中的虚位移,ψi也须满足边界条件(1)，称为检验函数。将线性组合代入虚功方程(4)，得到

里茨－加廖金方法

利用分部积分公式得

。

若取ψi=φi,可看出方程组(7)即方程组(6)，也就是说这时里茨法与加廖金法一致。由于检验函数ψi的选择可不同于试验函数φi，另外，对非自共轭问题lu=ƒ不存在等价的极小值问题，但可建立等价的广义虚功方程

加廖金法仍可用，所以加廖金法是里茨法的推广，它比里茨法更灵活和广泛。

里茨－加廖金法的有效使用依赖于试探函数和检验函数的选取，传统的做法是选取代数或三角多项式之类的解析函数，其优点是，对光滑解只需很少几个φj，近似解就能达到很高的精度。在电子计算机出现之前，这种方法比较切合实际。但这样选取的函数只当区域Ω的形状很特殊才能满足给定的边界条件，故在应用上受到很大限制。随着电子计算机的出现，产生了有限元方法，它继承了里茨-加廖金法从变分原理出发的基本特点，但不用多项式之类的解析函数，而是用剖分插值的方法构造试探函数和检验函数，从而使方法具有极大的灵活适用性，能很好地处理复杂的几何形状、间断介质以及奇性载荷等情况，在科学与工程的计算中获得广泛的使用。