由网友(光辉岁月)分享简介：垂直线是指取已知直线或者立体夹角为九零度的直线。当两条直线订交所组成的4个角中，要是有1个角是直角，便称那两条直线互相垂直，此中1条直线鸣作另外一条直线的垂直线，它们的接点鸣作垂足。两条直线互相垂直，是两条直线间沉要的位置闭系。中文名垂直线所属范畴几何教外文名perpendicularline特色取另外一直线夹角九零°的直线...

垂直线是指与已知直线或平面夹角为90度的直线。

当两条直线相交所构成的四个角中，如果有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂直线，它们的交点叫做垂足。两条直线互相垂直，是两条直线间重要的位置关系。

中文名

垂直线

所属领域

几何学

外文名

perpendicular line

特点

与另一直线夹角90°的直线

定义

当两条直线相交所构成的四个角中，如果有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线（垂直线），它们的交点叫做垂足。两条直线互相垂直，是两条直线间又一重要的位置关系。

证明的方法

证明两条直线互相垂直的方法很多，现列出十种主要方法如下：

1．直接用定义。即证相交两直线所构成的角中有一个是直角，或通过计算，求出其中的一个角等于90°。

2．如果一三角形中，有两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。

3．一条直线垂直于平行线中的一条，则这条直线也垂直于平行线中的另一条直线。

4．利用等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。

5．利用勾股定理逆定理。即在△ABC中，如果它的三条边有关系式，那么∠C=90°(这个三角形是直角三角形)。

6．利用菱形的性质，即菱形的两条对角线互相垂直平分。

7．利用垂径定理及其逆定理。例如，在圆O中，P是弦AB的中点，连结OP，则OP⊥AB。

8．利用圆周角定理的推论。即在圆中，直径所对的圆周角是直角，或半圆所对的圆周角等于90°。

9．利用定理：在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

10．利用切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

除了上述十种主要方法外，还有一些其他方法。例如，利用线段垂直平分线性质的逆定理，即如果一点到线段两端点的距离相等，那么这一点必在这条线段的垂直平分线上。也可以利用三角函数的计算来证明两直线垂直。例如，当角a是锐角时，如果sina=1，那么a=90°(当然，由cosa=0，或ctga=0，同样可推得a=90°)。总之，证明两条直线互相垂直的方法很多，读者在运用时既要根据所给条件或图形的特征，灵活选择方法，同时辅以必要的分析与综合，一定能较简捷地证明两条直线互相垂直。^[1]

例题解析

例1如图1，在△ABC的外侧以AB、AC为斜边分别作等腰直角三角形ABD、ACE。设BC的中点为O，连结DO、EO，求证DO⊥EO且DD=EO。

分析:利用等腰直角三角形的性质，取AB、AC的中点F、G，连结DF、FO、EG、GO。由三角形中位线性质，可得到且于是可得，有且。但而从而得到即。

(请读者自己完成证明过程。)

在本题中，由于中点较多，所以首先从三角形中位线性质去考虑。同时，本题是直接证得∠DOE=90°。从而有DO⊥EO的结论。

例2如图2，△ABC中，已知AB=AC，且BM⊥AC，CN⊥AB(M、N为垂足)，又O、P分别是BC、MN的中点。求证：OP⊥MN。

分析一：利用直角三角形斜边上中线的性质，容易得到。这样，△OMN是一个等腰三角形，因为P是底的中线，即得OP⊥MN。

分析二：从已知∠BNC=∠BMC=90°，易证B、C、M、N四点共圆，圆心即点O。这样，线段MN是该圆的一条弦。因为P为MN中点，由垂径定理逆定理，即得OP⊥OM。

本题告诉我们，在证两条直线互相垂直时，要认真审题，看清图形特征，从而选择适当的方法。需要时也可一题多证，以培养发散思维及证题能力。^[1]

解释证明

两直线垂直的充要条件：不与x轴垂直的两条直线的斜率互为负倒数。

例题解析

例1：设直线过点M(3，2)，且与直线垂直，求直线的方程。

解：直线的斜率为，

直线的斜率为，

故直线的方程为整理得。

另外，两条直线互相垂直的充要条件是：。

例2：直线互相垂直，求a的值。

解：

解得或。

另外与直线(不同时为0)垂直的直线系方程为。

例1也可这样解：与直线垂直的直线系方程为，直线过点M(3，2)，

所以因此，所求的直线为。^[2]