逻辑代数，也叫做开关代数起源于英国数学家乔治·布尔(GeorgeBoole)于1849年创立的布尔代数，是数字电路设计理论中的数字逻辑科目的重要组成部分。逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（George Boole）于1849年创立的。逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。由于属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑积（交类），记作a∩b，简记作ab。逻辑代数与命题代数有所不同。
中文名逻辑代数
外文名algebra of logic
基本逻辑两种
分类数学
时间19世纪中叶
提出者乔治布尔
基本内容
逻辑代数
逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。
一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑；
另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。
依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。
即任意多状态的逻辑是完备的。
当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有0和1两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。
逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。
其规定：
1．所有可能出现的数只有0和1两个。
2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。
与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为：
或运算（逻辑或、逻辑加）定义为：
至此布尔代数宣告诞生。
二、基本公式
如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：
上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。
乘法加法原理与逻辑和乘法
乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。
或逻辑和加法
加法原理中自变量是因变量成立的充分条件，或逻辑的定义正好和加法原理的描述一致，所以或逻辑和加法对应。
乘法就是广义的与逻辑运算，加法就是广义的或逻辑运算。逻辑运算可以看作是乘法的特例。逻辑推算推算可以看作是加法的特例。
总之，乘法原理、加法原理可以看作是一种逻辑和或逻辑的定量表述；与逻辑和或逻辑可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。
基本规则
代入规则任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现 X 的位置，都代之以一个逻辑函数 F，此等式仍然成立。
对偶规则设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就得到了一个逻辑函数式 F'，这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果用两个函数 和 G 相等，则是它们各自的对偶式F' 和 G' 也相等。
反演规则当已知一个逻辑函数F，要求 ¬F 时，只要把 F 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即得 ¬F。运用反演规则时必须注意一下两个原则：（1）保持原来的运算优先级，即先进行与运算，后进行或运算。并注意优先考虑括号内的运算。（2）对于反变量以外的非号应保留不变。。
逻辑函数
标准形式逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式（SP form）。
逻辑代数
逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。最小项在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
性质：
①在输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。
②任意两个最小项的乘积为0。
③全体最小项之和为1。
④具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。
⑤n个变量的最小项数目为2n
最大项在n变量逻辑函数中，若M为n个变量的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。
性质：
①在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是0。
②任意两个最大项之和为1。
③全体最大项之积为0。
④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。
⑤ n个变量的最大项数目为2n。
化简运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换，从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式，它们的判别标准有两条：⑴项数最少；⑵在项数最少的条件下，项内的文字最少。
卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律，使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现，从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。
类代数类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词的逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类。由论域中所有个体组成的类叫全类，记作 1。不含有任何事物的类叫空类，记作0。考虑全类的所有子类，即包含于其中的类（包括1和0），令
…为这样的类变元。由论域中不属于a类的个体组成的类叫做a的补，记作a'。由或属于a类或属于b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑和（并类），记作。由既属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑积（交类），记作，简记作。如果a类与b类所含的个体相同，则称a与b等同，记作。a与b不等同记作。1和0是两个特定的类常元。'，∪和∩是三种逻辑运算，分别叫类的取补、求和（加法）和求积（乘法）。此外，还可以通过定义引入包含于关系吇，例如把a吇b定义为。于是自然有：对于任何类a,0吇a吇1。在类代数中，不带有主词存在断定的直言命题
和，可表示为和。传统逻辑中三段论第1格 AAA式可表示为：如果
且，则。第3格EIO式可表示为：如果
且，则。类代数的运算满足下表中列出的基本定律。类代数的基本定律
幂等律
交换律
结合律
吸收律
分配律
么元律
补余律
从这些定律出发，特别是只需以其中的交换律、分配律、前两个么元律和补余律作为初始定律即公理，就可以推导出类逻辑的所有定律（定理）。类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多，大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑（见谓词逻辑）。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理，但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。
命题代数命题代数在结构上与类代数完全相同。只要对类代数中的符号另作命题逻辑的解释，或者干脆改为相应的命题逻辑符号，就得到命题代数。即把类变元改为命题变元
；改为否定词填（“并非”）；∪改为析取词∨（“或者”）；∩改为合取词∧（“并且”）。1和0分别解释为特定的逻辑上真的命题和逻辑上假的命题，或称有效命题和矛盾命题；=表示两命题逻辑上等值。这时，填、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律，而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统，尤其是都可以有关于布尔展开式的定理，它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。逻辑代数与命题代数有所不同。它还可以把1和0分别解释为命题的真和假，令变元只取1和0为值，即令其为二值的真值变元，并把填、∨和∧解释为真值运算，从而得到一种提供命题真值运算定律的真值代数。而且，在二值的真值代数中特别可以有定理“
或，但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。相关推荐
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