由网友(勇敢活)分享简介：正在空间直角坐标系下，由方程x²/a²+y²/b²+z²/c²=一所暗示的曲面鸣作椭球面，或者称椭圆面，此中a,b,c为肆意一般数，凡是假设a≥b≥c>零. 该方程鸣作椭球面的尺度方程.[一]中文名椭球面合用规模数文科教尺度方程x²/a²+y²/b²+z²/c²=一外文名Ellipsoid性子名词界说正在空间直角坐标系下，由...

在空间直角坐标系下，由方程x²/a²+y²/b²+z²/c²=1所表示的曲面叫做椭球面，或称椭圆面，其中a,b,c为任意正常数，通常假定a≥b≥c>0. 该方程叫做椭球面的标准方程.^[1]

中文名

椭球面

适用范围

数理科学

标准方程

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

外文名

Ellipsoid

性质

名词

定义

在空间直角坐标系下，由方程

所表示的曲面称为椭球面，或称椭圆面，从方程可知

即.

这说明椭球面完全包含在由平面所围成的长方体内，其中a，b，c按其大小，分别称为椭圆的长半轴、中半轴和短半轴。

形状

用截痕法来考察椭球面的形状。截痕法就是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕的形状），然后加以综合，从而知道了曲线的全貌。

先考察椭球面与三个坐标面的截痕

,,.它们都是椭圆。

再用平行于xOy坐标面的平面z=h（0<|h|

或

这是一个位于平面z=h上的椭圆，它的中心在z轴上，两个半轴分别为和。当|h|逐渐增大时，椭圆由大变小，当|h|=c时，椭圆缩为点（0，0，±c）。

用平行于yOz面或xOz面的平面去截椭球面，可以得到类似的结果。

当a，b，c中有任意2个相等时，为旋转椭球面。

旋转椭球面标准方程（不妨a=b时）为

可以看作由椭圆绕z轴旋转而成的。

当a=b=c时，即三个半轴都相等时，为球面:。^[1]

相关概念

椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称.椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴.^[2]

存在范围

椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x=±a, y=±b, z=±c所围成.

坐标面所截曲线

①②③

分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆，它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).

坐标面平行平面所截曲线

或④

椭球面可以看成由此椭圆族④所生成，这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行，而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上.用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面，结论类似.

参数方程

x=asinθcosφ

y=bsinθsinφ

z=ccosθ (0≤θ≤π, 0≤φ<2π)

从中消去 θ, φ可得椭球面的标准方程.

应用

一般地，运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为：

(1) 曲面的对称性：讨论图形各部分之间的关系；

(2) 曲面的范围：讨论图形存在的范围；

(3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系：以便对图形的大概轮廓有所了解；

(4) 确切研究曲面的弯曲变化情况：主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面，研究截口曲线是怎样变化的，也叫平行截面法，或平行截口线法.